在数学分析中，不定积分和定积分是解决函数问题的重要工具之一。本文将针对题目“sin²x 的定积分”展开讨论，并提供详细的推导过程与结果。
首先，我们需要明确题目中的核心求解 sin²x 的定积分。这里假设积分区间为 [a, b]，即目标是计算：
\[ \int_a^b \sin^2(x) \, dx \]
一、利用三角恒等式简化表达式
根据三角函数的基本性质，我们可以使用以下恒等式对 sin²x 进行化简：
\[
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]
这一公式来源于二倍角公式 \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \)，通过简单的代数变形即可得到上述形式。
因此，原积分可以转化为：
\[
\int_a^b \sin^2(x) \, dx = \int_a^b \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
\]
二、分步计算积分
接下来，我们将积分拆分为两个部分进行计算：
\[
\int_a^b \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_a^b 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_a^b \cos(2x) \, dx
\]
1. 第一部分：
\[
\frac{1}{2} \int_a^b 1 \, dx = \frac{1}{2}[x]_a^b = \frac{1}{2}(b - a)
\]
2. 第二部分：
对于 \(\int_a^b \cos(2x) \, dx\)，我们采用变量替换法。令 \(u = 2x\)，则 \(du = 2dx\)，积分限相应变为 \(2a\) 和 \(2b\)。于是：
\[
\int_a^b \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{2a}^{2b} \cos(u) \, du = \frac{1}{2}[\sin(u)]_{2a}^{2b} = \frac{1}{2}[\sin(2b) - \sin(2a)]
\]
三、综合结果
将两部分结果合并，最终得到：
\[
\int_a^b \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}(b - a) - \frac{1}{4}[\sin(2b) - \sin(2a)]
\]
四、特殊情况分析
如果积分区间为 [0, π]，代入上述公式可得：
\[
\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}(\pi - 0) - \frac{1}{4}[\sin(2\pi) - \sin(0)] = \frac{\pi}{2}
\]
综上所述，“sin²x 的定积分”可以通过上述方法准确计算得出。希望本文能帮助读者更好地理解该问题及其解决思路。
