【怎么求一个函数的导函数】在数学中，导数是微积分的重要概念之一，用于描述函数在某一点处的变化率或斜率。求一个函数的导函数（即求导）是学习微积分的基础内容。本文将总结常见的求导方法，并通过表格形式清晰展示各类函数的导数公式。
一、导数的基本概念
导数的定义：设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x $ 处有定义，若极限
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
存在，则称该极限为函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数，记作 $ f'(x) $ 或 $ \frac{dy}{dx} $。
二、常见函数的导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n 为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
三、求导法则
为了对复杂函数进行求导，我们需要掌握以下基本法则：
1. 基本求导法则
- 和差法则：
$ (f \pm g)' = f' \pm g' $
- 乘积法则：
$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法则：
$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 链式法则（复合函数求导）：
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
四、实际应用举例
例1：求 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 $ 的导函数。
解：
$$
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
$$
例2：求 $ f(x) = \sin(2x) $ 的导函数。
解：
$$
f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例3：求 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导函数。
解：
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
五、总结
求一个函数的导函数，需要掌握基本导数公式以及导数的运算法则。对于简单的初等函数，可直接套用公式；对于复合函数或复杂表达式，则需灵活运用乘积法则、商法则和链式法则。熟练掌握这些方法，有助于提高微积分的应用能力。
附表：常见函数导数速查表
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
通过以上内容，可以系统地理解如何求一个函数的导函数，并在实际问题中加以应用。
