【指数分布期望方差是怎么证明的】指数分布是概率论中一种重要的连续型概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔。在可靠性分析、排队论、保险精算等领域有广泛应用。其核心参数为λ（速率参数），密度函数为：
$$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $$
本文将总结指数分布的期望与方差的数学推导过程，并以表格形式清晰展示关键步骤和结论。
一、期望的证明
定义：
设随机变量 $ X $ 服从指数分布，记作 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，则其期望值 $ E(X) $ 的计算如下：
$$
E(X) = \int_0^\infty x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx
$$
积分方法：
使用分部积分法（Integration by Parts）进行求解：
令：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \lambda e^{-\lambda x} dx $，则 $ v = -e^{-\lambda x} $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
E(X) = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx
$$
第一项在 $ x=0 $ 时为 0，在 $ x \to \infty $ 时趋于 0（因为指数衰减快于线性增长）。第二项为：
$$
\int_0^\infty e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda}
$$
因此，最终结果为：
$$
E(X) = \frac{1}{\lambda}
$$
二、方差的证明
定义：
方差 $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
首先计算 $ E(X^2) $：
$$
E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx
$$
同样使用分部积分法，或利用已知结果（如伽马函数）：
$$
E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}
$$
然后代入方差公式：
$$
\text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}
$$
三、总结表格
| 内容 | 公式表达 | 推导过程说明 |
| 概率密度函数 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | 定义形式，$ x \geq 0 $ |
| 期望值 | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ | 通过分部积分法求解 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $ | 利用 $ E(X^2) - [E(X)]^2 $ 计算 |
四、小结
指数分布的期望和方差具有简洁而对称的形式，体现了其“无记忆性”这一重要特性。理解这些公式的推导过程有助于加深对指数分布性质的理解，也为其在实际问题中的应用打下理论基础。
